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Avances en la resolución de los problemas diofánticos | Actualidad

Avances en la resolución de los problemas diofánticos | Actualidad

Los problemas diofánticos son una serie de rompecabezas no resueltos de la teoría de números que se remontan a hace 3700 años. Con el paso del tiempo, los matemáticos han ido socavándolos, y los últimos trabajos han logrado avances significativos en algunos de ellos y demostrado que otros siguen siendo tan irresolubles como siempre.

Los investigadores han recurrido a herramientas de la geometría para resolver estos problemas, cuyo nombre proviene de Diofanto (un matemático griego del siglo III) y que tratan de determinar las soluciones de ecuaciones polinómicas como xn + yn = zn. El objetivo de los matemáticos es averiguar si esas ecuaciones tienen soluciones enteras o racionales. Por ejemplo, para x2 + y2 = z2 existen infinitas soluciones de ese tipo. 

La geometría diofántica es el campo de las matemáticas que estudia la relación entre las propiedades de una ecuación relacionadas con la teoría de números, como sus soluciones racionales o enteras, y sus «propiedades geométricas, como la topología del conjunto de soluciones complejas de la ecuación», detalla David Corwin, matemático de la Universidad Ben Gurión del Néguev.

Es sorprendente «lo poco que sabemos sobre la geometría diofántica en comparación con otras áreas de las matemáticas», apunta Bjorn Poonen, matemático del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Y pone un ejemplo: aunque los matemáticos saben que el número 20 puede escribirse como la suma de tres cubos (como en 33 + 13 + (−2)3 = 20), aún ignoran si es posible hacer lo propio con el 114.

El «lado oscuro»

En algunos problemas diofánticos, puede parecer que los matemáticos tienen una visión obsesivamente estrecha. ¿Por qué dedicar un esfuerzo considerable a determinar si el 114 puede escribirse como la suma de tres cubos? Kiran Kedlaya, matemático de la Universidad de California en San Diego, aduce que en muchos rompecabezas diofánticos que son fáciles de enunciar, «el problema en sí no es tan relevante… pero las técnicas necesarias para resolverlo sí lo son, y mucho».

Es una situación frecuente en matemáticas. Por ejemplo, el célebre último teorema de Fermat, prosigue Kedlaya, es más importante por las técnicas desarrolladas para solucionarlo que por el problema en sí, «que no tiene muchas consecuencias directas para la teoría de números». Las herramientas empleadas para abordarlo, sin embargo, incluyen avances clave en la teoría algebraica de números a finales del siglo XIX, así como en las formas modulares a principios del siglo XX.

«Esos [avances] son tremendamente importantes para resolver muchos problemas modernos de la teoría de números», afirma Kedlaya, incluidas cuestiones relacionadas con la criptografía. Y subraya que «los problemas más sencillos suelen servir de motivación para desarrollar técnicas que luego podemos usar en la resolución de otros problemas realmente significativos».

Por ejemplo, el problema de uniformidad de Serre, que está relacionado con la investigación de Kedlaya, se refiere a un tipo especial de curvas matemáticas llamadas curvas modulares. No obstante, «sus consecuencias son bastante profundas y las técnicas que usamos para aplicarlo» a distintos casos se basan en trabajos anteriores sobre el problema de Fermat, observa Kedlaya.

No obstante, algunos problemas diofánticos son más intratables que otros. «Muchos investigadores de este campo tratan de desarrollar nuevos métodos para resolver ecuaciones diofánticas», señala Poonen, «pero yo trabajo también en el «lado oscuro», intentando demostrar que algunas clases de problemas son irresolubles».

Nuevas herramientas

En lugar de emplear herramientas de la geometría y otros campos a fin de resolver problemas diofánticos concretos, tal vez podrían haberse desarrollado programas informáticos para resolver el caso general de dichos problemas. Pero los matemáticos Martin Davis, Yuri Matiyasévich, Hilary Putnam y Julia Robinson demostraron que encontrar las soluciones completas a esos problemas no es tan sencillo como encargarle a un ordenador que las busque.

Su trabajo culminó con un teorema de 1970 que daba respuesta al famoso décimo problema de Hilbert, enunciado por el matemático alemán David Hilbert. Ese problema se centraba en encontrar un algoritmo para determinar si, dado un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, existe una solución entera, explica Kedlaya. Al pensar que podría hallarse un algoritmo así, «Hilbert pecó de optimista. Le encantaba tratar de resolver clases generales de problemas».

Pero el teorema de Matiyasévich, también llamado teorema DPRM o MRDP, demostró que ese algoritmo no existe. El descubrimiento significa que el «problema general de ese tipo es intratable», y los casos individuales pueden ser «muy difíciles de resolver», asegura Kedlaya.

Curiosamente, Corwin señala que para las ecuaciones polinómicas con varias variables (o sistemas de tales ecuaciones), nadie sabe si se puede encontrar un algoritmo que determine si existen soluciones racionales. «Es una incógnita», incide. Poonen ha tratado de demostrar que ese método general para encontrar soluciones racionales es inviable.

Para algunas de estas antiguas cuestiones, incluidas las planteadas por el propio Diofanto, «apenas hemos empezado a desarrollar métodos que puedan ayudar a responderlas», afirma Jennifer Balakrishnan, matemática de la Universidad de Boston.

Por ejemplo, un problema de la Aritmética de Diofanto plantea si existen soluciones racionales positivas x e y que satisfagan la ecuación y2 = x8 + x4 + x2. Aunque Diofanto proporcionó una solución, x = 1/2 e y = 9/16, Balakrishnan explica que hasta 1998 se desconocía cuántas soluciones más existían. En una tesis doctoral realizada en la Universidad de California en Berkeley, Joseph Wetherell presentó técnicas para responder esta pregunta.

Más recientemente, Balakrishnan y sus colaboradores han desarrollado nuevas técnicas para hallar soluciones similares. Un resultado reciente de gran impacto, indica, fue la nueva prueba de Brian Lawrence y Akshay Venkatesh de un resultado conocido como la conjetura de Mordell. Aunque Gerd Faltings la demostró por primera vez en 1983, el trabajo de Lawrence y Venkatesh «da otra perspectiva a un problema que tiene casi 100 años», destaca Balakrishnan.

Estos y otros avances demuestran que el interés por la geometría diofántica ha crecido en los últimos años, concluye Corwin, «en especial gracias a la aparición de nuevos métodos».

Rachel Crowell

Fuente de TenemosNoticias.com: www.investigacionyciencia.es

Publicado el: 2021-10-17 18:00:00
En la sección: Investigación y Ciencia: Actualidad científica

Publicado en Ciencia
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