Más allá de nuestra comprehensión

Creado:
16.12.2024 | 16:04

Actualizado:
16.12.2024 | 21:11

Vivimos en un mundo finito. Ya desde Aristóteles se decía que el infinito, en realidad no se puede alcanzar. No nos confundamos; el infinito existe en tanto en cuanto podemos pensar en llenar una caja con tantos objetos como queramos (siempre que quepan), pero nunca podremos tener una caja con INFINITOS objetos. Esta es la diferencia entre infinito potencial (el que me permite pensar en números cada vez más grandes) y el infinito actual (el que se exige para pensar en la caja con infinitos objetos).

Infinito potencial vs. Infinito actual

Las Matemáticas no son ajenas a la dicotomía de los infinitos expuesta anteriormente. Para poder trabajar con el infinito en Matemáticas, tuvimos que esperar a finales del siglo XIX y principios del XX. Concretamente, al momento en que Georg Cantor introduce la Teoría de Conjuntos para poder «domesticar» el infinito. Una teoría rompedora (en ese momento) y que supuso la apertura de las matemáticas a todo un nuevo y, como no podía ser de otro modo, infinito campo.

Pero incluso esta magnífica teoría tiene una limitación. Y es que para poder tratar el infinito, se debe incluir al propio infinito como axioma. Es decir, que si no incluimos la presencia, aunque se primigenia, de algo infinito, la Teoría de Conjuntos se queda en lo que Aristóteles decía: el infinito potencial.

Cantor nos trajo el infinito y sus diferentes tamaños al mundo de las matemáticas. Pero con él, también trajo más cosas. Ese salto de fe (digámoslo así) que hay que dar para pasar de lo finito al infinito actual, también se puede dar en el campo de lo infinito. Así surgen objetos que en matemáticas llamamos Grandes Cardinales.

Los Grandes Cardinales

Un Gran Cardinal es, dicho de forma algo grosera, un infinito tan grande, que ni siquiera se puede construir de la forma en que Cantor normalmente lo hace. Si solo nos quedamos con la Teoría de Conjuntos tradicional (lo que hoy llamamos ZFC) los argumentos de Cantor nos permiten construir infinitos a partir de otros infinitos… pero con limitaciones. Para poder llegar a un Gran Cardinal se necesita introducirlo como un nuevo axioma (igual que el axioma del infinito se introducía para poder llenar la caja).

Hasta ahora, todos los Grandes Cardinales que se han ido construyendo, o bien no eran consistentes con lo que se tenía antes (su mera existencia nos llevaba a algún absurdo), o bien cualesquiera dos de ellos se podían «comparar» (o uno implica el otro, u el otro el uno, o eran equivalentes). Se podría decir que los Grandes Cardinales estaban, en cierto sentido, ordenados jerárquicamente.

Este tema, fascinante para los matemáticos, ha cobrado una nueva vida con un reciente artículo titulado «Large Cardinals, Structural Reflection, and the HOD Conjecture», publicado por Juan P. Aguilera, Joan Bagaria y Philipp Lücke. En el reciente artículo parece que construyen nuevos Grandes Cardinales que, cunado se tratan de incorporar a la estructura jerárquica anterior, directamente no encajan. Esto sugiere que, al igual que las proteínas, el infinito puede tener estructuras muy complejas subyacentes que aún no hemos atisbado a ver, ya que, hasta ahora, solo hemos percibido apenas las capas superficiales de esta estructura.

¿Qué son los cardinales exactos y ultraexactos?

Los autores introducen nuevos tipos de cardinales, llamados cardinales exactos y ultraexactos, que plantean profundas preguntas sobre la estructura del universo matemático. Vamos a adentrarnos en sus hallazgos y desmenuzar lo que significa este descubrimiento.

Los cardinales exactos se presentan como una forma más débil de los cardinales Rank-Berkeley, pero más fuertes que los cardinales Jónsson. Estos cardinales introducen nuevas maneras de reflexionar sobre la jerarquía del infinito. Según el artículo, si existe un cardinal exacto, entonces el universo matemático V no es igual a HOD (el conjunto de objetos ordinalmente definibles), lo cual marca un importante cambio de paradigma.

Por otro lado, los cardinales ultraexactos son una versión aún más refinada. Estos no solo implican el fracaso de conjeturas como la de Woodin sobre HOD, sino que además interactúan con otros axiomas fuertes de manera sorprendente. Los autores muestran que si existe un cardinal ultraexacto menor que un cardinal medible, se pueden construir estructuras matemáticas extremadamente fuertes (llamadas inclusión tipo I0), lo que rompe la idea tradicional de que los cardinales grandes siguen un orden lineal y simple en su jerarquía.

La tricotomía: el camino no será fácil

Sin embargo, hay un pequeño detalle que algunos expertos ya alertan. Al parecer, en el paper, los autores no tienen una prueba de la consistencia de estos nuevos Grandes Cardinales: no saben si su existencia es coherente con lo anterior o no. Esa tricotomía (la de que dos Grandes Cardinales o son equivalente, o uno implica el otro, o el otro implica el uno) solo se puede aplicar después de saber si los nuevos grandes Cardinales son consistentes o no. Y sin una prueba de consistencia, no se puede jugar a este juego.

Referencia

• Juan P. Aguilera, Joan Bagaria, Philipp Lücke, Large Cardinals, Structural Reflection, and the HOD Conjecture, arXiv:2411.11568, DOI: https://arxiv.org/abs/2411.11568.