un puente entre la filosofía del siglo XVII y la física cuántica

René Descartes fue mucho más que el autor del célebre “pienso, luego existo”. Además de ser uno de los grandes fundadores de la filosofía moderna, dejó su huella profunda en la historia de las matemáticas. En 1643, en una carta a la princesa Isabel del Palatinado, planteó un problema geométrico que parecía estar al alcance de sus flamantes coordenadas cartesianas. Pero no logró resolverlo. Durante casi cuatro siglos, el misterio quedó abierto, desafiando a generaciones enteras de matemáticos.

Ahora, en 2025, investigadores de la Universidad de Monash (Australia) han logrado resolver ese viejo reto, y lo han hecho con herramientas matemáticas que ni Descartes ni sus contemporáneos habrían podido imaginar: los espinores, usados en física cuántica y relatividad. El hallazgo, publicado en la Journal of Geometry and Physics, no solo extiende el Teorema de los círculos de Descartes, sino que establece un puente inesperado entre la filosofía del siglo XVII y los conceptos más abstractos de la física moderna.

Un teorema clásico con una cuenta pendiente

El llamado Teorema de los círculos de Descartes describe cómo calcular el radio de un cuarto círculo que es tangente a otros tres. Es una fórmula elegante que relaciona los radios mediante una sencilla expresión cuadrática. Sin embargo, Descartes no logró generalizar esta relación a configuraciones más complejas, como grupos de cinco, seis o más círculos mutuamente tangentes.

Durante siglos, los matemáticos trataron de ampliar ese resultado. Aunque surgieron versiones parciales y aproximaciones, nadie había encontrado una fórmula general que funcionara para cualquier número de círculos en el plano. El problema permanecía abierto, latente, como una herida matemática sin cerrar.

Lo notable del trabajo liderado por Daniel Mathews y su alumno Orion Zymaris es que no se limitaron a buscar soluciones dentro del ámbito de la geometría clásica, sino que recurrieron a estructuras matemáticas utilizadas en la física teórica para describir partículas subatómicas y fenómenos relativistas. Este enfoque permitió romper el techo que había limitado la expansión del teorema original durante 380 años.

Espinores: la clave cuántica para resolver un problema del siglo XVII

El avance técnico más sorprendente del artículo reside en el uso de espinores, unos objetos matemáticos que emergen en la teoría cuántica del espín y en la relatividad general. Estos elementos permiten representar rotaciones en el espacio de una forma que no es posible usando vectores normales. Su aplicación en geometría es poco habitual, pero en este caso fue decisiva.

Los autores señalan que “usamos una versión de espinores desarrollada por Roger Penrose y Wolfgang Rindler, que aplicaron a la teoría de la relatividad”. Este tipo de herramientas suelen estar muy alejadas del dominio tradicional de los teoremas de círculos, pero en manos de estos investigadores han permitido modelar configuraciones complejas de círculos tangentes, llamadas «flores de n-círculos».

La idea básica es que cada círculo de la configuración puede representarse mediante una entidad algebraica que se comporta bien bajo ciertas transformaciones geométricas. Así, los espinores actúan como una especie de “lenguaje” que unifica y simplifica las relaciones entre los círculos, independientemente de cuántos haya. Esta es la clave para derivar una fórmula general.

¿Qué es un espínor?

Un espínor es un objeto matemático que se utiliza para describir ciertos comportamientos de partículas en física cuántica, especialmente el espín (de ahí el nombre). A diferencia de los vectores, que giran de forma “intuitiva” cuando rotamos un sistema de coordenadas, los espinores tienen una transformación más compleja: por ejemplo, al girar 360°, un espínor no vuelve exactamente a su estado original, sino que necesita 720° para hacerlo. Esto puede sonar extraño, pero es una propiedad esencial en la mecánica cuántica.

En física, los espinores son fundamentales para describir partículas como los electrones, que tienen espín ½. Se usan en formulaciones avanzadas como la ecuación de Dirac, que combina mecánica cuántica y relatividad.

De Descartes a Zymaris: lo que no pudo resolver el filósofo

La anécdota original es tan fascinante como reveladora. En 1643, Descartes se carteaba con la princesa Isabel del Palatinado, una mujer interesada en filosofía y ciencia. En una de esas misivas, le planteó un problema de geometría que, según él, era resoluble gracias a su recién creado sistema de coordenadas. Pero pronto se dio cuenta de que la dificultad era mayor de lo esperado. Reformuló el problema para hacerlo más asequible, y de ahí nació el actual teorema de los cuatro círculos.

Lo que nunca logró fue encontrar una forma general para más de cuatro círculos, y eso quedó como una deuda pendiente. La solución de Mathews y Zymaris puede verse, entonces, como una reivindicación tardía del interés filosófico de Descartes por la geometría, y también como una muestra de hasta qué punto las herramientas del siglo XXI permiten cerrar problemas del pasado.

El trabajo no solo resuelve el problema original, sino que lo enmarca en un marco más amplio y riguroso. Los autores explican que “esta es la primera extensión del resultado que da una ecuación explícita para un número arbitrario de círculos en el plano”.

Los círculos besadores de Soddy y la expansión del teorema

Pero hagamos una pausa y volvamos otra vez atrás en el tiempo. La historia del Teorema de los círculos de Descartes no termina en el siglo XVII. De hecho, vivió un inesperado renacimiento casi tres siglos después, gracias a un personaje que no era matemático de profesión, sino químico: Frederick Soddy, Premio Nobel de Química en 1921. En 1936, Soddy publicó una versión del teorema en la revista Nature, pero lo hizo de una manera singular: en forma de poema. Titulado The Kiss Precise, el texto combinaba versos con fórmulas, explicando cómo calcular el radio de un círculo que toca a tres dados, lo que hoy se conoce como «círculos besadores» o «círculos osculadores».

La contribución de Soddy fue doble. Por un lado, redescubrió y popularizó el teorema original de Descartes, dándole un nombre más evocador. Por otro, extendió el resultado al espacio tridimensional, formulando una versión para esferas mutuamente tangentes. Esto abrió una línea de trabajo que conectaba geometría, química y visualización espacial.

Más adelante, el matemático británico Thorold Gosset amplió aún más el marco del teorema, generalizándolo a dimensiones superiores. Su formulación aplicaba a configuraciones de hiperesferas en espacios n-dimensionales, con condiciones de simetría precisas. Sin embargo, estas versiones no resolvían el problema central que Descartes no había logrado resolver: encontrar una fórmula explícita para un número cualquiera de círculos tangentes en el plano, sin restricciones de simetría o número. Ese era el vacío que el trabajo de Mathews y Zymaris vino a llenar en 2025.

El impacto del hallazgo en la matemática pura y sus posibles ramificaciones

Aunque se trata de un avance en el terreno de la matemática pura, el descubrimiento podría tener aplicaciones más amplias. Las configuraciones de círculos tangentes aparecen en múltiples contextos, desde el diseño de redes de comunicación hasta el modelado de empaquetamientos en física de materiales. Además, el uso de espinores podría inspirar nuevas técnicas en campos tan dispares como la visualización computacional, la teoría de cuerdas o la inteligencia artificial.

Lo importante aquí es que no se trata solo de un resultado puntual, sino de una nueva vía de trabajo. La conexión entre geometría clásica y estructuras modernas de la física puede abrir puertas que aún no hemos imaginado. De hecho, los autores resaltan que las mismas estructuras matemáticas que describen el espín cuántico y la relatividad también nos ayudan a entender agrupamientos de círculos.

Además, el hallazgo ha servido para consolidar el prestigio del grupo de topología de Monash, que en los últimos años ha crecido de forma notable. Hoy cuenta con nueve estudiantes de doctorado, cinco de ellos mujeres, en una muestra del dinamismo y diversidad del equipo. El trabajo conjunto entre investigadores de distintos niveles de experiencia ha sido clave para lograr este resultado.

Filosofía, ciencia y persistencia: una lección para el presente

Más allá del mérito técnico, este descubrimiento ofrece una reflexión sobre la propia naturaleza del conocimiento. Un filósofo del siglo XVII plantó una semilla que florecería más de tres siglos después, gracias a avances que él mismo no podía anticipar. Y, sin embargo, el impulso original era el mismo: la búsqueda de patrones, de relaciones profundas entre formas aparentemente simples.

Este tipo de historias muestran cómo las matemáticas no solo resuelven problemas, sino que construyen puentes entre épocas y disciplinas. Lo que Descartes no pudo concluir en vida, lo han completado ahora dos investigadores que decidieron mirar su teorema desde un ángulo radicalmente nuevo.

Tal vez eso sea lo más fascinante de este trabajo: que nos recuerda que la ciencia avanza cuando se atreve a cruzar fronteras, incluso las que separan la geometría clásica de la física moderna, o la filosofía de la computación.