un viaje matemático más allá de los límites de la imaginación

El concepto de infinito podría ser, sin lugar a duda, uno de los más enigmáticos y profundos en el campo de las matemáticas. A lo largo de los siglos, quienes nos hemos dedicado a las matemáticas hemos tratado de coexistir pacíficamente con este concepto. A pesar de nuestros esfuerzos, aún no hemos logrado dominarlo completamente. Pero… ¿qué es, realmente, el infinito matemático? ¿cómo sabemos que algo es, verdaderamente, infinito?

A lo largo de este artículo trataremos de dar algo parecido a una respuesta a estas cuestiones. Pero cuidado, os advierto que llegar a ellas puede ser una aventura arqueológica digna de Lara Croft o Indiana Jones. ¿Me acompañas, Tapón?

¿Qué es el infinito?

Antes de nada, recordemos que vamos a centrarnos en los aspectos matemáticos: (casi) nada de filosofía ni de religión, y poco (muy poco) de física.

Desde el punto de vista de los números, podemos pensar que el Infinito es un número muy grande. Vale, de acuerdo, pero… ¿cómo de grande? Realmente tan grande como te lo permita tu imaginación porque en matemáticas no hay límites (chiste únicamente apto para iniciados). Dicho de otro modo, el infinito puede ser ese número a partir del cual ya no nos importa si nos ponen más o nos quitan, que nos parece que siempre es igual.

Vamos a verlo con un ejemplo. Imaginemos que vamos a la playa y cogemos un puñado de arena en la mano. ¿Cuántos granos de arena lo componen? Pues la verdad es que muchísimos. Tantos, que ni nos molestamos en contarlos.

Pero parémonos un momento a pensar. ¿Cuántos granos de arena hay que quitarle a ese puñado para que deje de ser un puñado? Más aún, si a nuestro puñado de arena le añadimos unos pocos granos más… ¿sigue siendo un puñado de granos de arena?

Y es que en cuanto tenemos un puñado, ya nos da igual si añadimos o quitamos granos individuales. Seguiremos teniendo un puñado de arena. Podríamos decir entonces que el número de granos de arena que hay en un puñado es infinito.

Emparejando cosas

Una vez que ya tenemos una idea aproximada de qué es el infinito, vamos a ver si somos capaces de reconocerlo. ¿Hay algo que sea verdaderamente infinito allá fuera? Y si lo hay, ¿seremos capaces de darnos cuenta de que es infinito, es decir, que su tamaño es infinito?

Uf, muchas preguntas son esas. Para poder abordarlas (recordad que nos pondremos en la piel de Lara Croft o Indiana Jones), tendremos que saber las herramientas de las que disponemos para nuestra misión.

La clave de todo es el tamaño. Para buscar algo cuyo tamaño sea infinito, tendremos que aprender a comparar tamaños. Y nada mejor que la técnica del emparejamiento para ello.

Imaginemos que somos los organizadores de un concurso de matemáticas. Queremos preparar regalos para los participantes consistentes en un bolígrafo y un cuaderno. Los bolígrafos están en una caja, los cuadernos en otra. No sabemos, a ciencia cierta, cuántos hay de cada uno. Pero lo cierto es que solo queremos hacer parejas. Al tomar el último bolígrafo, vemos que aún quedan cuadernos. Así, concluimos que hay más cuadernos que bolígrafos.

Si tenemos dos cajas (conjuntos) diferentes de objetos (elementos), podemos comparar fácilmente sus tamaños usando esta técnica. Empezamos a sacar un objeto de un tipo y otro del otro. Si ambos se acaban a la vez, es que las dos cajas contenían el mismo número de objetos. Si una se acaba antes, la otra tendrá más objetos que la primera.

Sencillo, ¿verdad? Pues espera, Lara, que vienen curvas.

Definiendo el infinito

Ahora que tenemos la herramienta de comparación, parece claro cómo definir que algo es infinito. Basta encontrar un conjunto infinito que nos sirva de modelo para poder comparar con él. Como la ya clásica barra de platino e iridio que durante mucho tiempo sirvió como medida de un metro.

Pero… ¿cómo sabremos que ese conjunto que hemos elegido es verdaderamente infinito? Porque no querremos caer en una definición circular, ¿verdad? Igual es que hay alguno de esos conjuntos sobre el que nadie tiene dudas. ¿El conjunto de todos los números naturales, quizás? Parece el adecuado. De hecho, contar no es más que comparar con los primeros números naturales.

Pues siento deciros que ya el propio Aristóteles negaba que ese conjunto fuese verdaderamente infinito. Houston, tenemos un problema.

José Antonio Prado-Bassas

El mosqueo de Galileo

Pero el problema es aún mayor de lo que pensamos. A veces, pasan cosas raras. Que se lo digan a nuestro siguiente amigo.

Todos conocemos a Galileo Galilei. Como muy bien lo describe mi gran amigo Jesús Soto en El Universo está escrito en lenguaje matemático… ¿por quién? Galileo no es que fuera un gran matemático, pero lo que sí fue es un enorme divulgador de la ciencia.

En su célebre Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ptolemaico e coperniciano, de 1632, Galileo se topa con la técnica del emparejamiento con dos conjuntos algo especiales.

En concreto se percata de que podemos emparejar perfectamente todos los números naturales (1, 2, 3, 4…) con todos los cuadrados perfectos (12=1, 22=4, 32=9, 42=16…) y no sobra ni falta ninguno: emparejamos el 1 con el 1, el 2 con el 4, el 3 con el 9, el 4 con el 16 y así sucesivamente, cada número natural n con su cuadrado n2.

Galileo, nada más verlo, entra en pánico igual que Indiana Jones delante de una serpiente. ¿Por qué? Pues porque acaba de toparse con un conjunto, el de todos los números naturales, que se puede emparejar con una parte propia suya, el conjunto de todos los cuadrados perfectos.

De repente, aquel principio universal que asegura que “el todo es mayor que cualquiera de sus partes” (y que en realidad es la Noción Básica nº 5 de los Elementos de Euclides) se cae en pedazos. Y Galileo, mosqueado, no puede más que claudicar (recuerden que las matemáticas no eran su fuerte), y asegurar que “no podemos hablar de cantidades infinitas como siendo una mayor o menor o igual a otra”.

Un «pasapalabra» de libro. Lo que Galileo no sabía es que estaba justo encima de El Arca Perdida.

Bolzano: más allá del ascensor

Bernhard Bolzano fue un matemático nacido en Praga que se dedicó casi en total aislamiento a trabajar en sus cosas. Más conocido por el Teorema de Bolzano (ese que dice que para ir del sótano a la primera planta de unos grandes almacenes por fuerza tienes que pasar por la planta baja), también dedicó buena parte de sus esfuerzos a tratar de entender el infinito

En su libro de 1851 «Paradoxien des Unendliches», entre otras cosas se preocupa de las propiedades de los conjuntos infinitos. En primer lugar, da una definición de conjunto infinito que no implica comparación con otro.

En concreto dice que algo es infinito si al quitarle cualquier cantidad finita (la que sea), siguen quedando objetos. ¿Os acordáis del puñado de arena?

Esta definición, solo tiene un problema, ¿cómo quitamos cualquier cantidad finita? ¿podemos verdaderamente hacerlo? Seguimos teniendo, esencialmente, el mismo problema. Ya la definición no es circular… pero casi.

Por cierto, Bolzano ahondó también en el hecho de que un conjunto infinito podría emparejarse con una parte propia suya (eso de que el todo es igual que una de sus partes). Pero, aunque se dio cuenta de que esto solo pasaba con los conjuntos infinitos, no le dio más importancia que la de una feliz casualidad.

Descifrando el infinito

Quien ya no vio la casualidad, sino que se percató de que tenía ante sí el Arca Perdida que Galileo no supo ver, fue Richard Dedekind.

Dedekind fue un matemático alemán gran amigo de Georg Cantor. Pero aunque fue Cantor el que nos permitió a los matemáticos jugar definitivamente con el infinito, Dedekind consiguió definir claramente y sin ambigüedades lo que significa ser infinito.

En su obra de 1888 «Was sind und was sollen die Zahlen?»  (¿Qué son y para qué sirven los números?), Dedekind establece que un conjunto es infinito si se puede emparejar con una de sus partes propias (un trozo de él, pero estrictamente más pequeño).

De esta forma, ya no necesitamos comparar con un conjunto infinito estándar ni tratar de quitar todos los posibles conjuntos finitos a nuestra colección.

Si encontramos un trozo más pequeño suyo que podemos poner en biyección (que es la palabra matemática para emparejar) con él, entonces ese conjunto es infinito.

Si os acordáis de Galileo, él se da cuenta de que el conjunto de todos los números (los números naturales) se podían emparejar con el de los cuadrados perfectos. Así, según lo que dice Dedekind, no queda lugar a dudas de que el conjunto de todos los números naturales es verdaderamente infinito.

Y a partir de aquí…

Más allá del infinito

Pues a partir de aquí, la Historia sigue por otros derroteros. Cantor, el gran amigo de Dedekind pasa a estudiar el tamaño del infinito y descubre, que hay muchos infinitos diferentes.

Pero eso, amigos, es otra aventura. Hasta aquí la Búsqueda del Verdadero Infinito. Cómo las matemáticas han permitido discernir de forma clara y precisa qué es un objeto infinito.

Para ir más allá, tendrás que buscar tu propia aventura. Pero nunca olvides que la verdadera aventura es aprender.