El principio de incertidumbre

Supongamos que recibe usted una multa de tráfico, informándole de que en el kilómetro 27 de una autopista circulaba a 130 km/h, diez por encima del límite legal. Entonces usted alega que, según el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, no es posible conocer al mismo tiempo la posición y la velocidad del coche; así que la multa debe ser anulada. ¿Puede usted abrigar alguna esperanza de que su caso sea revisado? (la solución al final de este artículo).

Función de onda

Antes de adentrarnos en el significado del famoso principio de Heisenberg, hemos de recordar un postulado importante de la física cuántica. Consideremos una magnitud física cualquiera de una partícula, por ejemplo, su posición. Según la teoría, existen ciertos estados especiales de la partícula, llamados «autoestados de la posición», en los que la posición de esta está perfectamente definida. Una manera de visualizar esos estados es a través del concepto de «función de onda». La función de onda, designada habitualmente con la letra griega psi (ψ), tiene un valor en cada punto (x) del espacio, ψ(x); y ese valor es una medida de la probabilidad de que, al observar la posición de la partícula, nos la encontremos en dicho punto. Esto está ilustrado en la figura que muestra una función de onda con forma de montaña. En ese ejemplo, la mayor probabilidad de presencia se encuentra en torno al punto central, pero también hay una cierta probabilidad de encontrar la partícula en otro punto cualquiera.

Conviene subrayar que la función de onda no es un objeto físico que podamos medir directamente. Lo que podemos medir son magnitudes físicas, como la posición y la velocidad. La función de onda es más bien un artilugio matemático que nos sirve para predecir la probabilidad de obtener un resultado u otro en esas medidas; pero no es algo medible en sí mismo.

¿Cómo es la función de onda de una partícula con una posición bien definida, por ejemplo x0? Dado que solo puede tomar un valor no nulo (en x0), ha de ser una función perfectamente picada en ese punto. Esta función se denomina «delta de Dirac». En la jerga de la mecánica cuántica, las funciones de onda de los autoesta- dos de la posición son deltas de Dirac.

Lo que podríamos medir

Consideremos ahora otra magnitud física, concretamente la velocidad. Una partícula puede tener una velocidad perfectamente definida; es decir, usando la jerga anterior, puede encontrarse en un autoestado de la velocidad. Lo que sucede es que los postulados de la física cuántica implican que los autoestados de la velocidad son distintos que de los de la posición. Su función de onda, ψ(x), se asemeja a la de una cuerda infinita agitada por una oscilación a lo largo de toda su longitud. Una función así se suele llamar onda plana. Las funciones de onda de los autoestados de la velocidad son ondas planas.

La característica más importante de una onda plana es su longitud de onda, o sea la distancia entre dos picos o dos valles (indicada con la letra griega λ en la figura). En general, λ es extremadamente pequeña (microscópica) y su valor concreto depende de la masa y la velocidad de la partícula: cuanto más grandes sean estas, aun más pequeña es λ. A veces se dice, en un abuso de lenguaje, que λ es la longitud de onda de la partícula. Realmente es la longitud de onda de su función de onda, cuando tiene una velocidad bien definida.

El punto más importante de la discusión anterior es que si la partícula tiene la velocidad bien definida, entonces no tiene la posición bien definida, ya que su función de onda es una onda plana, no una delta de Dirac. De hecho, al medir la posición podemos obtener cualquier valor con idéntica probabilidad, puesto que la onda plana se extiende por todo el espacio de manera homogénea: la deslocalización de la partícula es absoluta.

Del mismo modo, si la partícula está en un autoestado de la posición (delta de Dirac), la incertidumbre acerca de la velocidad es absoluta, un resultado menos obvio pero que se puede demostrar matemáticamente. Podemos considerar también situaciones intermedias, en las que el estado de la partícula no es un autoestado de la posición ni de la velocidad.

El principio de incertidumbre

En estos casos, ni la posición ni la velocidad están bien definidas, pero la incertidumbre sobre ellas no es absoluta. Es una especie de solución de compromiso, pero nunca se puede conseguir que ambas incertidumbres Δx y Δυ , sean cero simultáneamente. Se puede demostrar rigurosamente que hay un límite matemático para lo pequeñas que pueden ser, concretamente: Δx · Δυ ≥ ħ/2m.

Este es el célebre principio de incertidumbre de Heisenberg. En el miembro de la izquierda tenemos el producto de las dos incertidumbres. En el de la derecha, ħ es una constante fundamental de la naturaleza, llamada constante de Planck, y m es la masa de la partícula. La fórmula, enunciada por primera vez por Werner Heisenberg en 1927, es sin duda una de las más icónicas de la mecánica cuántica. Posiblemente usted la haya visto antes en películas, gorras o camisetas. Y la forma en que suele escribirse no es la de arriba, sino una muy parecida: Δx · Δp ≥ ħ/2, donde p es el momento lineal de la partícula, definido como el producto de la masa por la velocidad, p = mυ. Matemáticamente ambas formas son exactamente equivalentes (simplemente hemos multiplicado por m los dos miembros de la ecuación inicial).

Hay que subrayar que, a pesar de su nombre, el principio de incertidumbre no es en realidad un principio ni un postulado, sino un teorema; es decir, una consecuencia matemática de los postulados de la teoría. Dada su extraordinaria importancia, vamos a profundizar en su verdadero significado.

Las incertidumbres Δx y Δυ no se deben a que nuestros aparatos de medida sean imperfectos e introduzcan errores, cosa que naturalmente sucede; sino que son incertidumbres intrínsecas. ¿Qué quiere decir esto? A menudo se afirma que el significado del principio de Heisenberg es que cuando medimos la posición de una partícula, perturbamos de forma irremediable su velocidad, por lo que no podemos aspirar a medir ambas simultáneamente con precisión absoluta. Pero la cosa es más profunda: la partícula no puede tener bien definidas la posición y la velocidad, las midamos o no. Simplemente, no hay ninguna función de onda que sea a la vez una delta de Dirac (posición bien definida) y una onda plana (velocidad bien definida).

La vida cotidiana

Ahora bien, si este es un principio universal, ¿cómo es que no lo percibimos en nuestra experiencia diaria? Cuando miramos una silla, esta parece encontrarse en una posición bien determinada, sin incertidumbres; y con una velocidad bien determinada (en este caso cero), también sin incertidumbres. Para entender este hecho hemos de profundizar un poco más en nuestra fórmula, Δx · Δυ ≥ ħ/2m . El producto de las incertidumbres es (como mínimo) ħ/2m. ¿Eso es grande o pequeño? En general, muy pequeño. El valor de ħ es diminuto: en unidades convencionales, ħ ≈ 7 ×10^−34 m^2 kg/s ; o sea, 0,00……007, con treinta y tres ceros a la derecha de la coma. Esta pequeñez indica que es en el mundo microscópico donde el principio de incertidumbre juega un papel más importante. A esto contribuye también el denominador de la fracción ħ/2m. Recordemos m que es la masa de la partícula. Al estar en el denominador, cuanto más grande sea esta, menor será la fracción ħ/2m, y por tanto menores pueden ser las incertidumbres. Este es el caso de los objetos macroscópicos observables a simple vista: una silla, una piedra, un grano de arroz, un grano de arena, etc. Para ellos, las incertidumbres en Δx y Δυ pueden ser extraordinariamente pequeñas, despreciables. Sin embargo, para una partícula diminuta, como un electrón, un átomo o una molécula, que tienen una masa pequeña, la incertidumbre cuántica es siempre significativa.

¿Nos pondrán la multa?

Estamos ya en condiciones de regresar a nuestro plan para librarnos de una multa por exceso de velocidad. Recordemos nuestra línea de defensa: «Si mi coche fue detectado en el kilómetro 27 (y por tanto con una posición bien definida), no es posible afirmar con seguridad que su velocidad fuera de 130 km/h, el principio de incertidumbre lo impide». Esta afirmación es correcta. El problema, como hemos visto, es que para objetos macroscópicos (caso del coche) las incer- tidumbres en la posición y la velocidad pueden ser extraordinariamente pequeñas (aunque nunca nulas). Por ello, si bien es verdad que no se puede afirmar que el coche se encontraba en ese lugar y a esa velocidad con precisión absoluta, la incertidumbre cuántica es insignificante. Solo si nos empeñáramos en establecer la posición y velocidad del coche con una precisión absurda de trillonésimas de trillonésimas de milímetro, entonces el principio de Heisenberg nos lo impedi- ría. ¡Desgraciadamente, no podemos invocar el principio de incertidumbre para impugnar una multa en la carretera!

Aun así, podríamos alegar que el principio de Heisenberg solo establece un límite inferior para las incertidumbres, pero permite que estas sean arbitrariamente grandes, incluso para objetos macroscópicos. Por ejemplo, podríamos afirmar (a la desesperada): «Cuando mi coche fue detectado, se encontraba en un autoestado de la posición, concretamente estaba situado exactamente en el kilómetro 27; por tanto la incertidumbre acerca de su velocidad era total». Sin embargo, si de algo tenemos certidumbre absoluta es de que este argumento no nos librará de la multa…

Este artículo se publicó en el número de coleccionista de Muy Interesante nº. 25, Mundo cuántico.