El ‘criterio de Kelly’ o cómo mejorar la asignación de capital

Es muy común en el mundo financiero oír de manera regular historias sobre grandes e ilustres instituciones quebrar de la noche a la mañana. Aunque seguramente nos vengan a la cabeza los casos de Long-Term Capital Management en 1998, Lehman Brothers en 2008 y varios grandes bancos (ej. Silicon Valley Bank, First Republic Bank, Credit Suisse) hace unos pocos meses, son innumerables las historias de instituciones financieras que presuntamente sucumben al impacto de cisnes negros. ¿Pero realmente son las quiebras de estas instituciones el resultado de eventos totalmente aleatorios, o más bien el resultado de decisiones de asignación de capital desastrosas, por las que dichas instituciones acaban aceptando riesgos excesivos apostando a «todo o nada»?

Para los lectores que quieran adentrarse en las fascinantes relaciones entre el mundo de las apuestas, el de la inversión, y cómo gestionar el riesgo, William Poundstone, autor de varios y aclamados libros (Prisoner’s Dilemma y How Would You Move Mount Fuji?), publicó en 2005 una obra que se ha convertido en un clásico en donde explora en profundidad estos temas. Con el título de Fortune’s Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street, Poundstone narra la historia del criterio de Kelly, una fórmula matemática desarrollada hace décadas y aplicada con éxito tanto en el mundo de las apuestas como en el de las finanzas. Para contar la historia de dicha fórmula y por qué es superior a los enfoques tradicionales, Poundstone presenta un fascinante relato que mezcla campos tan diversos como la historia, los juegos de azar, las matemáticas y el mundo de los fondos de inversión.

Cualquiera que haya hecho una apuesta o una inversión en su vida probablemente se habrá hecho la siguiente pregunta: dada una información disponible y las características de la apuesta/inversión, ¿cuánto dinero debería apostar? Obviamente, si tenemos alguna ventaja deberíamos tomar esa apuesta, pero ¿cuánto debería ser? ¿Deberíamos no apostar y perder esa ventaja, o apostar todo y arriesgarnos a acabar en quiebra?

El libro da una respuesta a este aparente sencillo problema, pero lo hace a través de un increíble recorrido histórico que empieza con los escritos de Daniel Bernoulli en el siglo XVIII para acabar hablando de las contribuciones más contemporáneas de Claude Shannon, Ed Thorp, Paul Samuelson y John Kelly. Este último, un científico que trabajaba en Bell Labs, resolvió en 1956 la cantidad óptima a apostar con una sencilla y elegante fórmula matemática, que se conoce hoy en día como el criterio de Kelly.

«Aunque el todo-o-nada puede tener éxito en el corto plazo, los jugadores pierden muy rápidamente todos sus fondos»

El criterio de Kelly establece que el tamaño de cualquier apuesta debería ser una función de las probabilidades de ganar y perder, así como de la relación entre la ganancia potencial dividida por la pérdida potencial. La fórmula ofrece una solución analítica a nuestro sentido común, que sugiere que deberíamos apostar más según nuestras probabilidades de ganar aumentan o si la ventaja («edge») que tenemos en la apuesta es mayor. Solo en el muy improbable caso de que la probabilidad de ganar fuese del 100% el criterio de Kelly recomendaría invertir la totalidad de nuestros fondos; para el resto de los casos, el hecho de que la fórmula recomiende invertir solo un porcentaje de nuestros fondos hace que sea imposible perder todo nuestro capital a largo plazo.

Es importante subrayar que el criterio de Kelly no garantiza ganar dinero en una apuesta en particular. El criterio de Kelly es un método que permite seguir vivo en el juego con independencia de si se gana o se pierde a corto plazo. Dicha supervivencia, a su vez, garantiza que, a largo plazo, gracias a la ley de los grandes números, se maximiza el crecimiento de los fondos a la vez que se minimiza el riesgo de perderlos por un mal resultado.

Las ventajas teóricas del criterio de Kelly quedan perfectamente plasmadas cuando se comparan con métodos de apostar alternativos. Los tres métodos de apuestas más famosos que seguramente conocerán los lectores son el todo-o-nada, el Martingale (si pierdes, apuesta el doble la siguiente vez) y la apuesta fija (apostar siempre un determinado porcentaje del dinero con el que se empieza). Aunque el todo-o-nada puede tener éxito en el corto plazo, los jugadores pierden muy rápidamente todos sus fondos (tan pronto como sale el primer resultado desfavorable). El Martingale permite a los jugadores seguir apostando durante más tiempo, pero una mala racha de resultados se acaba llevando finalmente todos sus fondos. La apuesta fija, a diferencia del todo-o-nada y del Martingale, permite a los jugadores sobrevivir a largo plazo ya que nunca apuestan todos sus fondos (solamente un porcentaje), pero a diferencia del criterio de Kelly la cantidad de riqueza que se acaba acumulando es mucho menor.

El libro explora también cómo las anteriores conclusiones del mundo de las apuestas se aplican al mundo de la inversión, en donde en vez de hablar de apuestas se habla de carteras de inversión. Un tema central del libro es por qué el esquema de Kelly, si es óptimo para maximizar la riqueza a largo plazo, no se usa más ampliamente en el mundo real a la hora de construir carteras. La razón es que tanto los académicos como los profesionales han siempre construido carteras de acuerdo con el esquema media-varianza de Markowitz, el cual ofrece una selección de carteras eficientes en función de sus rentabilidades y riesgos históricos. Para los seguidores de Kelly, dicha estrategia tiene dos defectos fundamentales.

En primer lugar, el esquema media-varianza es una solución estática que da soluciones óptimas para un solo período, y no para horizontes temporales con múltiples períodos. Y, en segundo lugar, ofrece una gama de carteras eficientes (la frontera eficiente), no solo una, y a partir de ahí el inversor tiene que escoger la que más le conviene dependiendo de su función de utilidad subjetiva. Los defensores del sistema de Kelly (entre los que se encuentra, curiosamente, el propio Markowitz) argumentan que en el mundo real los inversores no se enfrentan a un problema estático (construir una cartera y venderla en un año), sino dinámica, en el sentido de que las carteras cambian gradualmente a lo largo del tiempo por motivos de rebalanceo y reinversión de los flujos. Por otra parte, el criterio de Kelly permite calcular una única cartera óptima (la que maximiza el crecimiento de la riqueza a largo plazo minimizando el riesgo de quiebra), con independencia de la función de utilidad del inversor.

Poundstone no puede evitar ponerse del lado de los seguidores de Kelly, frente a los economistas académicos, que siempre han considerado la fórmula de Kelly una trivialidad y han preferido centrarse en la maximización de la utilidad (en vez de la maximización de la media geométrica del crecimiento de la riqueza) y en enfocar las decisiones de cartera utilizando el criterio de media-varianza (en el que se pone énfasis en la media aritmética y en decisiones de un solo período). Poundstone relaciona esta visión académica con el espectacular fracaso de Long-Term Capital Management en 1998 así como de otros fondos de inversión en años posteriores, los cuáles seguían estrategias de inversión cuya probabilidad de quiebra a medio plazo era muy elevada y que no hubiesen pasado el filtro del criterio de Kelly.

Aunque el libro fue publicado antes de la crisis de 2007, la manera en que el apalancamiento excesivo y el exceso de apuestas que las grandes instituciones financieras hicieron en un solo sector (como el de las hipotecas subprime) son errores que, de acuerdo con el criterio de Kelly y la experiencia histórica de LTCM, no se deberían haber repetido. Una lectura parecida podría extraerse de las recientes quiebras de varios grandes bancos regionales estadounidenses y de Alameda y FTX (cuyo colapso reseñé recientemente en esta misma columna). El libro no solo merece la pena leerse para poder mejorar la manera que tenemos de asignar capital e invertir (o apostar) de manera más racional, sino porque entrelaza magistralmente en un solo volumen lecciones de historia, de juegos de azar, de matemáticas, de economía y de finanzas personales.

‘Ficha técnica’

Título: Fortune’s Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street»

Autor: William Poundstone.

Editorial: Hill & Wang, 2005, pp.386, tapa blanda.